Navier-Stokes y la IA ante uno de los grandes problemas de las matemáticas

Hay problemas que parecen propios de un futuro lejano, pero están escondidos en cosas tan normales como abrir un grifo, volar en avión o prever cómo se mueve el aire alrededor de un coche. Uno de ellos tiene más de un siglo de historia y todavía no ha encontrado una respuesta matemática definitiva.

Se trata del problema de Navier-Stokes, relacionado con unas ecuaciones que describen el movimiento de los fluidos. Y cuando hablamos de fluidos no nos referimos únicamente al agua. El aire también lo es, al igual que otros líquidos y gases. Las mismas leyes que ayudan a describir el agua que circula por una tubería sirven, con las adaptaciones correspondientes, para estudiar el movimiento del aire alrededor de un avión.

Lo curioso es que sabemos utilizar estas ecuaciones desde hace mucho tiempo. Ingenieros y científicos las emplean constantemente para hacer cálculos y simulaciones. El problema es que utilizar una ecuación con éxito no significa haber demostrado matemáticamente que conocemos todas sus posibles soluciones.

Ahí está el verdadero misterio.

Una ecuación para describir el movimiento de un fluido

Imaginemos que lanzamos una pelota al agua de una piscina. Alrededor de la pelota se forman corrientes y pequeños remolinos. Si la pelota se mueve, el agua cambia de dirección y de velocidad. Si además aumentamos la velocidad, el comportamiento puede hacerse mucho más complicado.

Las ecuaciones de Navier-Stokes intentan describir precisamente ese tipo de situaciones. Tienen en cuenta factores como la velocidad del fluido, la presión y su viscosidad, es decir, la resistencia que ofrece un fluido a deformarse y desplazarse.

La miel, por ejemplo, tiene una viscosidad mucho mayor que el agua. Por eso cuesta más removerla con una cuchara. El aire tiene una viscosidad mucho menor y se comporta de otra manera. Las ecuaciones permiten incorporar estas propiedades para calcular cómo debería moverse el fluido.

El problema aparece cuando intentamos responder a una pregunta mucho más profunda. Si conocemos perfectamente el estado inicial de un fluido y aplicamos las ecuaciones de Navier-Stokes, ¿podemos estar seguros de que la solución seguirá existiendo y comportándose correctamente para siempre?

Cuando los matemáticos hablan de una solución “suave” no están diciendo que sea agradable, sencilla o fácil de entender. Es una palabra técnica. En este contexto significa, de forma simplificada, que la solución no desarrolla puntos problemáticos en los que determinadas cantidades se vuelvan infinitamente grandes o dejen de estar bien definidas.

Podemos imaginarlo como una carretera. Una carretera puede tener curvas, pendientes y cambios de dirección sin dejar de ser una carretera perfectamente transitable. Una solución suave sería algo parecido: puede ser extremadamente complicada, pero no contiene un “precipicio matemático” en el que las magnitudes estudiadas se disparen sin límite.

Y aquí llega la dificultad. Para las ecuaciones tridimensionales de Navier-Stokes todavía no se ha conseguido demostrar si una solución que empieza siendo razonablemente bien comportada seguirá siendo así para siempre.

No significa que los científicos hayan observado un fluido real que se vuelva infinito. Tampoco significa que las ecuaciones sean inútiles. Significa que falta una demostración matemática general que cierre esta cuestión.

Un millón de dólares por una respuesta

La importancia del problema es tal que forma parte de los siete Problemas del Milenio seleccionados por el Clay Mathematics Institute. En el año 2000, esta institución estableció un premio de un millón de dólares para cada problema cuya solución fuese aceptada siguiendo sus criterios.

Navier-Stokes sigue sin resolverse.

El detalle importante es que no basta con realizar una simulación espectacular o encontrar un ejemplo que funcione. Una simulación puede demostrar que una determinada situación se comporta de una manera concreta. El problema matemático exige algo mucho más ambicioso: demostrar qué ocurre en general.

Y aquí es donde la inteligencia artificial empieza a resultar especialmente interesante.

La IA no tiene una varita mágica

Cuando se habla de inteligencia artificial aplicada a las matemáticas, es fácil caer en una exageración. Una máquina puede analizar enormes cantidades de datos y encontrar patrones que pasarían desapercibidos para una persona, pero eso no significa que pueda sustituir automáticamente una demostración matemática.

Pensemos en una simulación del aire alrededor de un coche. Un ordenador puede dividir el espacio que rodea al vehículo en una enorme cantidad de pequeñas zonas y calcular qué ocurre en cada una de ellas. Después repite el proceso una y otra vez para comprobar cómo evoluciona el flujo.

El resultado puede ser muy preciso, pero también puede exigir una cantidad enorme de cálculos.

Aquí la IA puede aportar algo muy valioso: aprender de muchas simulaciones anteriores para realizar determinadas predicciones mucho más rápidamente.

Imaginemos que un fabricante quiere estudiar miles de pequeñas modificaciones en la forma de un coche. Hacer una simulación completa para cada diseño puede ser costoso. Un sistema de inteligencia artificial entrenado con suficientes simulaciones puede aprender la relación entre la forma del vehículo y determinados aspectos del flujo de aire. Después puede ofrecer estimaciones rápidas para descartar diseños poco prometedores o seleccionar los que merezca la pena estudiar con métodos más precisos.

La IA actuaría en este caso como un atajo. No habría descubierto una nueva ley de la física. Habría aprendido a aproximar el resultado de cálculos que ya sabemos realizar.

Y esa diferencia es fundamental.

Cuando la física entra en el entrenamiento

Existe otra idea especialmente interesante. En lugar de enseñar a una inteligencia artificial únicamente con ejemplos, podemos intentar que tenga en cuenta las propias leyes físicas.

Aquí aparecen las llamadas redes neuronales informadas por la física, conocidas como PINN por sus siglas en inglés. El nombre puede sonar complicado, pero la idea es bastante sencilla.

Una red neuronal es un sistema matemático capaz de aprender relaciones a partir de ejemplos. Si le damos suficientes datos sobre una situación, puede aprender a hacer predicciones. Una PINN añade una condición adicional: sus resultados deben respetar las leyes físicas que conocemos.

Es parecido a enseñar a un alumno a resolver un problema y, además de comprobar si llega a la respuesta correcta, comprobar que ha seguido las reglas que debe cumplir durante el proceso.

En un problema relacionado con un fluido, la red puede recibir información sobre el comportamiento que debería tener ese fluido y ser penalizada cuando sus predicciones contradicen las ecuaciones que describen el fenómeno.

Esto resulta especialmente útil cuando no disponemos de una enorme cantidad de datos experimentales. La física proporciona parte de la información que falta.

Pero tampoco es una solución mágica.

Una inteligencia artificial puede equivocarse. Puede aprender muy bien determinados casos y comportarse peor cuando se encuentra con una situación diferente. También puede producir resultados aparentemente razonables que, examinados con cuidado, incumplan alguna propiedad física importante.

Por eso una predicción de IA no debe confundirse con una demostración matemática.

El gran enemigo llamado turbulencia

Para entender por qué Navier-Stokes es tan difícil conviene fijarse en algo que todos hemos visto: el humo.

Cuando el humo asciende lentamente, podemos observar durante un instante un movimiento relativamente ordenado. Pero llega un momento en el que aparecen remolinos, cambios de dirección y estructuras que se deforman constantemente.

Eso es un ejemplo sencillo de turbulencia.

La turbulencia aparece cuando el movimiento de un fluido se vuelve muy complejo y diferentes escalas de movimiento interactúan entre sí. Un remolino grande puede contener remolinos más pequeños, que a su vez pueden contener estructuras todavía menores.

La dificultad está precisamente en esa enorme variedad de escalas. Para describir con detalle lo que ocurre habría que realizar cálculos muy precisos en cantidades gigantescas de puntos.

La inteligencia artificial puede ayudar a encontrar aproximaciones y patrones dentro de esa complejidad. También puede servir para crear modelos más rápidos que reproduzcan determinados comportamientos sin tener que repetir siempre todos los cálculos desde cero.

Pero nuevamente hay que distinguir entre aproximar y demostrar.

Una máquina puede acertar millones de veces y seguir sin haber resuelto el problema matemático de fondo.

¿Puede entonces la IA resolver Navier-Stokes?

Es demasiado pronto para afirmarlo. La IA puede convertirse en una herramienta extraordinariamente útil para estudiar estas ecuaciones, pero no existe actualmente una razón para pensar que entrenar una red neuronal vaya a producir automáticamente la demostración que los matemáticos llevan décadas buscando.

De hecho, quizá su contribución más importante sea menos espectacular y más práctica.

Puede acelerar simulaciones, ayudar a analizar grandes cantidades de resultados, encontrar aproximaciones, identificar comportamientos difíciles de detectar y sugerir nuevas formas de construir modelos. También puede ayudar a combinar información procedente de experimentos con las leyes físicas que ya conocemos.

En determinados problemas de ingeniería, eso puede tener un enorme valor aunque nunca resuelva el famoso problema matemático del millón de dólares.

Hay además una posibilidad especialmente interesante. Si una IA encuentra una relación que funciona de forma repetida, los investigadores pueden intentar averiguar si detrás de ella existe una explicación matemática sencilla. En ese escenario, la máquina no sería quien demuestra la teoría, sino una herramienta que ayuda al investigador a descubrir dónde merece la pena mirar.

Es una diferencia importante. La IA puede ser muy buena encontrando caminos; demostrar que uno de esos caminos es correcto es otra cuestión.

Un problema antiguo en una era nueva

Las ecuaciones de Navier-Stokes nacieron mucho antes de que existieran los ordenadores modernos. Hoy podemos utilizarlos para realizar simulaciones que hace unas décadas habrían sido prácticamente imposibles. Y ahora disponemos además de sistemas capaces de aprender de esas simulaciones.

La combinación resulta prometedora: las matemáticas proporcionan las reglas, los ordenadores permiten realizar cantidades enormes de cálculos y la inteligencia artificial puede ayudar a encontrar patrones y aproximaciones.

Pero sería un error pensar que aumentar la capacidad de cálculo elimina automáticamente los problemas matemáticos. Una demostración no consiste en acumular suficientes ejemplos. Hay que demostrar que la afirmación es cierta en todos los casos que contempla el problema.

Ese es precisamente el atractivo de Navier-Stokes. No estamos ante una teoría inútil que nadie sabe utilizar. Al contrario: sus ecuaciones forman parte de la ciencia y la ingeniería modernas. Lo que todavía no sabemos es si nuestra comprensión matemática de ellas es completa.

Quizá la inteligencia artificial ayude a encontrar la respuesta. Quizá permita descubrir nuevas herramientas que hagan avanzar el problema de una forma inesperada. O quizá termine demostrando que algunos de los caminos actuales no conducen a ninguna parte.

En cualquiera de los casos, hay una lección interesante. Una máquina puede calcular más rápido que nosotros, analizar más datos y encontrar patrones extraordinariamente complejos. Pero entre encontrar un patrón y demostrar que ese patrón es siempre cierto sigue existiendo una diferencia enorme.

Y, por ahora, esa diferencia mantiene abierto uno de los problemas más famosos de las matemáticas.